Сайт учителя математики
Кощеева Михаила Михайловича
Сайт учителя математики
slide1
Кощеев
Михаил Михайлович
Учитель математики МКОУ «Погорельская СОШ» Шадринского района Курганской области
для слабовидящих
Каким должен быть современный учитель?
Календарь учителя

Олимпиадная подготовка

 На этой странице  размещаются олимпиадные задачи для учащихся 7-11 классов. Вы можете посмотреть   и решить  задачи, отправлять свои решения,задавать вопросы и обсуждать в комментариях. Если в процессе подготовки и решения задач  у вас возникнут вопросы или нужна будет консультация учителя, тогда воспользуйтесь обратной связью, напишите на электронную почту pmk47@mail.ru   вопрос  или воспользуйтесь скайп адресом live:pmk47_2 с 18.00 до 20.00 в рабочие дни.

 Рекомендация и тренировка

  Классификация задач

Задание для 7 класса

Задания для 8 класса

Задания для 9 класса                                                  

Задания для 10 класса

Задания для 11 класса

Желаете успешно решать олимпиадные задачи, тогда следующая информация для Вас:

Рекомендации и тренировка:

 

Подготовка  к участию в олимпиаде — труд не одного года

Тренироваться, тренироваться и ещё раз тренироваться. Это не разовая мера, а кропотливая системная работа.

Успешное решение олимпиадных задач включает:

1. Знание материала школьной программы.

2. Знание материала, который выходит за пределы школьной программы. Нужно более углубленное изучение тем.

3. Изучить и понять типы олимпиадных задач. Объектом являются различные олимпиадные задачи: логические задачи, задачи на переливание и взвешивание, раскраска, игры, графы, задачи на делимость т.д.

4. Смекалка. Не все задачи, особенно олимпиадные, решаются по определенной проработанной схеме. Довольно часто, для того чтоб решить задачу, нужно проявить еще и смекалку.

5. Рассмотреть идеи и методы решения олимпиадных задач.

6. Практика. Только при наличии постоянной практики в решении задач разных форм, видов, можно полноценно подготовиться к олимпиаде.

Общие правила решения олимпиадных задач

1. Внимательно прочитайте условие задачи. Проверьте условие задачи на правдоподобность.

Пример. Определите площадь треугольника со сторонами 27, 56 и 28 см. Ясно, что треугольника с такими сторонами не может существовать, поскольку не выполняется неравенство треугольника. Задача решения не имеет.

2. Необходима проверка правдоподобности полученных результатов. После написания олимпиадной работы внимательно ее прочитайте. К примеру не  существуют мухи, летающие со скоростью до 200 км/час; существует многоугольник, одновременно являющийся и выпуклым, и вогнутым, и т. д.

Смекалку можно воспитать и развить систематическими и постепенными упражнениями, в частности решением математических задач, как школьного курса, так и задач, возникающих из практики, связанных с наблюдениями окружающего нас мира вещей и событий.

Предлагаю потренировать смекалку на примере несколько элементарных «занимательных» задач.

1. Если 5 кошкам нужно 5 минут, чтобы поймать 5 мышек, сколько требуется кошек, чтобы за 100 минут поймать 100 мышек?

2. В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан будет заполнен наполовину?

3. На поверхности сферы наугад выбраны 3 точки. Какова вероятность того, что они окажутся в одном полушарии?

4. Из старой толстой книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 328, а номер последней записывается теми же цифрами, только в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?

5. Имеется лист бумаги. Его разрезают на 4 части, затем некоторые из полученных кусков (или все) снова разрезают на 4 части. Доказать, что при этом нельзя получить 50 листов бумаги.

6. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?

7. Каждые полчаса паром переплывает реку. Если в первый раз он отправится к другому берегу в 730 утра, а в последний — в 8 вечера, то сколько раз паром переплывает реку за день?

8. Водолаз работает на глубине 20 метров под водой. Расстояние от поверхности воды до палубы корабля составляет — длины троса, причем — его длины остались на катушке. Какова максимальная глубина, на которую может опуститься водолаз?

9. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

10. Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверхна 3 см, а за каждую ночь спускается вниз на 1 см. Когда он достигнет верхушки столба, если высота столба 75 см?

11. В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?

12. На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восьмью, Вера — с девятью, ... ,Лариса танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

13. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером 199х991?

14. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4 и при делении на 6 дает в остатке 5.

15. Петя говорит: «Позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13». Может ли такое быть?

16. Кот Васи перед дождем всегда чихает. Сегодня он чихнул. «Значит, будет дождь», - думает Вася. Прав ли он?

17. Словам соответствуют цифры: корова — 2, кошка — 3, кукушка - 4. Какая цифра по Вашему мнению должна соответствовать слову «собака»?

18.В кошельке лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из монет не пятак. Что это за монеты?

19.Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3x3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

20. Разрежьте уголок, изображенный на рисунке, на четыре таких же уголка вдвое меньшего размера.

Выполните следующие упражнения.

1. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

2. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

3. Несколько дуг окружности покрасили в синий цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше длины окружности. Докажите, что существует диаметр, оба конца которого не окрашены.

4. На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель, проходящий через центр планеты, который соединит сушу с сушей.

5. На складе имеются по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причем среди этих 600 сапог 300 правых и 300 левых. Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.

Ответы и указания к решениям:

1. Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника.

2. Из условий следует, что найдется 7 школьников, решивших= 29 задач. Так как 29 = 4 • 7 + 1, то найдется школьник, решивший не менее пяти задач.

3. Покрасим в желтый цвет дуги, симметричные синим относительно центра окружности. Так как сумма длин желтых дуг равна сумме длин дуг синих, то общая длина окрашенных дуг меньше длины окружности. Значит, найдется неокрашенная точка с такой же симметричной ей неокрашенной точкой. Диаметр, проходящий через них, и будет искомым.

4. Покрасим сушу на планете в зеленый цвет, а поверхность планеты, симметричную суше, — в синий цвет. Так как суша занимает больше половины поверхности планеты, то найдется точка на планете, покрашенная в оба цвета. Через нее и надо рыть туннель.

5. В каждом размере каких-то сапог меньше: правых или левых. Выпишем эти типы сапог по размерам. Какой-то тип, например левый, повторится, по крайней мере дважды, например в 41 и 42 размерах. Но так как количество левых сапог в этих размерах суммарно не меньше 10 (почему?), то мы имеем не менее 100 годных пар обуви в этих размерах.

 

Классификация задач

 Олимпиадные задачи классифицируются следующим образом (данная классификация является неполной):

1. Первый тип задач Логические

 Логические задачи стоят несколько особняком среди математических задач: в них, как правило, отсутствуют вычисления. При решении таких задач необходимо воспитать культуру мышления Очень важно, не путать причину со следствием, тщательно проводить перебор вариантов, правильно строить цепочку рассуждений. Как правило, у логической задачи имеется единственный ответ.

К логическим задачам модно отнести задачи , которые решаются принципом Дирихле

«Принцип Дирихле». Данный принцип был сформулирован в 1834 году. Проще всего принцип выражается в такой шуточной форме: «Если в n клетках больше чем n+1 зайцев, то хотя бы в одной клетке сидят не меньше двух зайцев». Заметим, что в роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты – числа, отрезки, места в таблице и т.д. несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное решение.

Задачи.

1. В школе 400 учеников. Докажите, хотя бы двое из них родились в один день года.

Решение: всего в году 366 дней. Пусть дни будут «клетками», а ученики – «кроликами». Тогда в некоторой «клетке» сидят не меньше «кроликов», т.е. больше одного, отсюда следует, что не меньше двух.

2. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат  из чисел +1,-1,0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Помогите Буратино.

Решение: Допустим, что квадрат составлен, тогда суммы чисел могут меняться в пределах от -6 до +6. Всего 13 значений. Строк в квадрате 6, столбцов 6, диагоналей 2. Получаем 14 различных сумм. Противоречие, значит составить такой квадрат невозможно.

3. На собеседовании пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2,3,4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?

Решение: рассмотрим множество наборов из трех оценок за соответствующие контрольные. Количество таких наборов равно 43 или 64 (4 возможности за каждую из трех контрольных). Поскольку число учащихся больше 64, по принципу Дирихле каким-то двум учащимся соответствует один набор оценок.

2. второй тип задач  Инвариант, то есть неизменный. Инвариантом называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании. Главная трудность при решении задач на инварианты состоит в его поиске. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются следующие способы решения олимпиадных задач:

• раскраска

• игры

«Вспомогательная раскраска»

Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан определённый цвет. Бывают задачи, где раскраска уже дана, например, для шахматной доски, бывают задачи, где раскраску с данными свойствами нужно придумать, и бывают задачи, где раскраска используется как идея решения.

Суть данного метода состоит в следующем. Раскрасив некоторые ключевые элементы, которые фигурируют в задаче в несколько цветов, исследовать, что будет происходить, если выполнять условия задачи. Цвет позволяет значительно упростить понимание процесса, фигурируемого в условии, и зачастую приводит к решению. Этот метод позволяет эффективно решать ряд задач, в частности, игровые и шахматные задачи.

Задачи

1. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на «домино» из двух клеток

Решение. Каждая фигура «домино» содержит одну белую и одну чёрную клетку. Но в нашей фигуре 32 чёрных и 30 белых клеток (или наоборот).

2. Можно ли все клетки доски обойти конем по одному разу и вернуться в исходную клетку?

Решение. Каждым ходом конь меняет цвет клетки, поэтому, если существует обход, то число чёрных клеток равно числу белых, что неверно.

3. Дан куб. Найдите максимально возможное число параллелепипедов(со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без пересечений.

Идея решения. Легко поместить 52 параллелепипеда внутрь куба. Докажем, что нельзя больше. Разобьем куб на 27 кубиков. Раскрасим их в шахматном порядке. При этом образуется 104 клетки одного цвета (белого) и 112 другого (чёрного). Осталось заметить, что каждый параллелепипед содержит две чёрных и две белых клетки. Ответ: 52.

 4. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1. По принципу Дирихле по крайней мере две из его трёх вершин должны быть покрашены в один цвет.

3. Третий тип задач «Математические игры»

Задачи-игры очень полезны для развития разговорной математической культуры и четкого понимания того, что означает «решить задачу». Под понятием игры мы понимаем игру двух соперников, обладающих следующим свойством. В каждый момент игры состояние характеризуется позицией, которая может изменяться только в зависимости от ходов игроков. Для каждого из игроков некоторые позиции объявляются выигрышными. Добиться выигрышной для себя позиции и есть цель каждого. Иногда игры допускают ничью.

Например, шахматы, шашки, крестики-нолики являются математическими играми. В математических играх существуют понятия выигрышной стратегии, т.е. набора правил следуя которым, один из игроков обязательно выиграет, и ничейной стратегии, следуя которой один из игроков обязательно добьется либо выигрыша, либо ничьей. Например, крестики-нолики являются ничейной игрой.

Задачи

1.Двое кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередной пятак. Кто выигрывает?

Решение. Выигрывает первый. Он кладёт пятак в центр стола, после чего на любой ход второго у первого всегда есть симметричный ответ.

2. В куче 25 камней. Игроки берут по очереди 2, 4 и 7 камней. Проигрывает тот, у кого нет хода. Кто победит?

Идея решения. Случаи 0 и 1 камня проигрышны для начинающего. Поэтому случаи 2, 3, 4, 5, 7, 8 камней для начинающего выигрышны: своим ходом он переводит игру в позицию, проигрышную для противника. Аналогично, 6 и 9 камней проигрышны для начинающего, поскольку из них можно перейти только в позицию, выигрышную для противника. Рассуждая аналогично, легко установить периодичность выигрышных и проигрышных позиций и получить ответ.

 

Отправить ответ

 

Связаться со мной
Здесь вы можете отправить мне вопрос на электронную почту, и я обязательно вам отвечу
Нажимая кнопку «Отправить», вы подтверждаете свое согласие на обработку персональных данных
Ваш ответ
Здесь вы можете отправить решение задачи, и я обязательно вам отвечу
Нажимая кнопку «Отправить», вы подтверждаете свое согласие на обработку персональных данных